逻辑回归-Andrew Ng机器学习公开课笔记1.4 – BYRans

    本文主要讲解分类问题中的逻辑回归。逻辑回归是一个二分类问题

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二分类问题

    二分类问题是指预测的y值只有两个取值(0或1),二分类问题可以扩展到多分类问题。例如:我们要做一个垃圾邮件过滤系统,是邮件的特征,预测的y值就是邮件的类别,是垃圾邮件还是正常邮件。对于类别我们通常称为正类(positive class)和负类(negative class),垃圾邮件的例子中,正类就是正常邮件,负类就是垃圾邮件。

 

逻辑回归

Logistic函数

    如果我们忽略二分类问题中y的取值是一个离散的取值(0或1),我们继续使用线性回归来预测y的取值。这样做会导致y的取值并不为0或1。逻辑回归使用一个函数来归一化y值,使y的取值在区间(0,1)内,这个函数称为Logistic函数(logistic function),也称为Sigmoid函数(sigmoid function)。函数公式如下:

   

    Logistic函数当z趋近于无穷大时,g(z)趋近于1;当z趋近于无穷小时,g(z)趋近于0。Logistic函数的图形如下:

   

    Logistic函数求导时有一个特性,这个特性将在下面的推导中用到,这个特性为:

   

 

 

逻辑回归表达式

    逻辑回归本质上是线性回归,只是在特征到结果的映射中加入了一层函数映射,即先把特征线性求和,然后使用函数g(z)将最为假设函数来预测。g(z)可以将连续值映射到0到1之间。线性回归模型的表达式带入g(z),就得到逻辑回归的表达式:

   

    依照惯例,让,表达式就转换为:

   

 

 

逻辑回归的软分类

    现在我们将y的取值通过Logistic函数归一化到(0,1)间,y的取值有特殊的含义,它表示结果取1的概率,因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为:

   

    对上面的表达式合并一下就是:

   

 

 

梯度上升

    得到了逻辑回归的表达式,下一步跟线性回归类似,构建似然函数,然后最大似然估计,最终推导出θ的迭代更新表达式。这个思路不清楚的请参考文章《线性回归、梯度下降》,只不过这里用的不是梯度下降,而是梯度上升,因为这里是最大化似然函数不是最小化似然函数。

    我们假设训练样本相互独立,那么似然函数表达式为:

   

    同样对似然函数取log,转换为:

   

    转换后的似然函数对θ求偏导,在这里我们以只有一个训练样本的情况为例:

   

    这个求偏导过程第一步是对θ偏导的转化,依据偏导公式:y=lnx y=1/x

    第二步是根据g(z)求导的特性g'(z) = g(z)(1 – g(z)) 。

    第三步就是普通的变换。

    这样我们就得到了梯度上升每次迭代的更新方向,那么θ的迭代表达式为:

   

 

    这个表达式与LMS算法的表达式相比,看上去完全相同,但是梯度上升与LMS是两个不同的算法,因为表示的是关于的一个非线性函数。

    两个不同的算法,用同一个表达式表达,这并不仅仅是巧合,两者存在深层的联系。这个问题,我们将在广义线性模型GLM中解答。

 

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